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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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3. Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
e) $e_{n}=\frac{\sqrt{n^{3}}+2}{n^{2}-1}$

Respuesta

Queremos calcular este límite:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{3}}+2}{n^{2}-1}$

Y si bien lo del numerador no es un polinomio (porque tenemos $n^{\frac{3}{2}}$ y eso estrictamente no es un polinomio, la potencia tendría que ser un número natural), a "efectos prácticos", podemos pensarlo "como si fuera un polinomio" y lo trabajamos igual que los límites anteriores. ¿Entonces qué hacemos? Y claro, sacamos factor común el que manda... mirá como nos queda:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3/2}(1 + \frac{2}{n^{3/2}})}{n^2(1 - \frac{1}{n^2})} $

Ahora, usando reglas de potencias: 

$\frac{n^{3/2}}{n^2} = n^{\frac{3}{2} - 2} = n^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n}} $

Entonces,

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3/2}(1 + \frac{2}{n^{3/2}})}{n^2(1 - \frac{1}{n^2})} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(1 + \frac{2}{n^{3/2}})}{(1 - \frac{1}{n^2})} = 0 $

Acá en este ejercicio se empieza a notar lo importante y recontra clave que es tener bien en claras las reglas de potenciación 😉
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Avatar Belén 30 de abril 09:16
holaa profe, consulta, no entendí como llegaste a que el exponente de n era 3/2
Avatar Flor Profesor 30 de abril 10:50
@Belén Hola Belen! Eso es usando propiedades de potencias... vos tenés en este caso

$\sqrt{n^3}$

Acordate que a la raíz cuadrada la podés pensar también como "tener elevado a la $1/2$", así que nos quedaría

$(n^3)^{1/2}$

y de nuevo por propiedades de potencias, eso lo podemos reescribir multiplicando los exponentes y por eso nos queda $n^{3/2}$

Cualquier cosa todo esto de propiedades de potencias está explicando en una clase, que está al principio de todo en el curso en la parte de Repaso de matemática! Esto aparece muchísimo y te lo vas a encontrar varias veces a partir de ahora, así que porfa cualquier cosa revisá de nuevo esa clase y preguntame si algo no terminó de cerrar! :)
Avatar tiziana 25 de agosto 22:46
Hola profe! no termino de entender la parte que pasa de n a la -1/2 A n a la 1/2 en el denominador, no se si se guia, cuando usas las reglas de potencia (tercer paso). O sea, aparece eso q tengo n a la 3/2 -2, perfecto, pero dspues no se si poner la rta abajo o como queda numerador/denominador con la parte de la n
Avatar Flor Profesor 26 de agosto 09:06
@tiziana 
@tiziana Hola Tizi! Sisi, entendí cual era el paso :)

Cuando restamos los exponentes y nos queda

$n^{-1/2}$

eso es exactamente lo mismo que tener

$\frac{1}{n^{1/2}}$

(o sea, cuando le cambiamos el signo al exponente, pasa del numerador al denominador) 

Tranqui que esto es una duda muy común al principio, pero es importante que quede bien en claro porque se empieza a usar todo el tiempo a partir de ahora y hasta el final. Acá en el curso lo encontrás explicado en la parte de Repaso de matemática -> Reglas de potenciación, ahí hay una clase donde explico estas reglas...

Avisame porfa si queda claro reviendo la clase, y sino lo seguimos charlando :)
Avatar Facu 10 de mayo 14:21
Hola, hay alguna pagina o algo donde esten todas las reglas que vayan a ser necesarias?
Avatar Flor Profesor 10 de mayo 16:32
@Facu Hola Facu! Las reglas de potenciación están en una de las primeras clases, en la parte de Ejercicios Preliminares -> Repaso de Matemática -> Reglas de potenciación :)

Y de paso, acá en la guía muchas veces aparecen ejercicios donde menciono propiedades de logaritmos, para esas armé un apunte que lo encontrás en Funciones -> Funciones elementales -> Propiedades de los logaritmos

Avisame cualquier cosa! :)
Avatar Maria 6 de mayo 17:35
Hola profe, no entendí una cosa, el 1/√n  tiende a 0?
Avatar Flor Profesor 7 de mayo 09:02
@Maria Hola María! Siiii, exacto, porque fijate que $n$ tiende a infinito, entonces tenés un número sobre algo que tiende a infinito, eso se va a cero :)
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